II593 - Estadística General

Ing. Sebastián Blandón Londoño

s.blandon@utp.edu.co

Universidad Tecnológica de Pereira

Estadística

Analítica

Algunas aplicaciones en ingeniería mecánica

Análisis de vibraciones: ¿Qué frecuencias de vibración son más críticas para la integridad de una estructura mecánica?
Diseño de experimentos: ¿Cuál es la combinación óptima de materiales para maximizar la resistencia de un componente?
Gestión de activos: ¿Cómo podemos predecir el desgaste de una pieza mecánica en función del tiempo y uso?
Simulación y modelado: ¿Cómo podemos modelar el comportamiento térmico de un motor bajo diferentes condiciones operativas?

Algunas aplicaciones en ingeniería eléctrica

Análisis de confiabilidad: ¿Cuál es la vida útil esperada de un componente eléctrico en diferentes condiciones operativas?
Optimización de redes eléctricas: ¿Cuál es la configuración óptima de una red eléctrica para minimizar pérdidas de energía?
Control de calidad: ¿Cómo podemos monitorear y mejorar la calidad de la producción de componentes electrónicos?
Análisis de fallas: ¿Qué factores están más correlacionados con fallas en sistemas eléctricos?
Predicción de demanda: ¿Cómo podemos predecir la demanda de electricidad en diferentes periodos del año?

Algunas aplicaciones en ingeniería industrial

Optimización de la producción: ¿Cuál es la secuencia óptima de producción para minimizar los tiempos de espera y maximizar la eficiencia?
Análisis de capacidad: ¿Cuál es la capacidad máxima de una línea de producción sin comprometer la calidad?
Control de calidad: ¿Cómo podemos reducir la variabilidad en la producción para mejorar la calidad del producto?
Estudio de tiempos y movimientos: ¿Cuáles son los factores que más afectan el tiempo de ciclo en una línea de ensamblaje?
Análisis de datos de ventas: ¿Qué factores están más correlacionados con el aumento de las ventas de un producto específico?

Algunas aplicaciones en ingeniería civil

Análisis de riesgos: ¿Cuál es la probabilidad de falla de una estructura bajo diferentes cargas y condiciones ambientales?
Control de calidad en materiales: ¿Cómo podemos monitorear y mejorar la calidad del concreto utilizado en una construcción?
Estudios geotécnicos: ¿Cuál es la distribución de las propiedades del suelo en una zona específica?
Optimización de recursos: ¿Cuál es la cantidad óptima de materiales necesarios para una construcción sin exceder el presupuesto?
Simulación de tráfico: ¿Cómo podemos modelar y predecir el flujo de tráfico en una nueva carretera para minimizar los congestionamientos?

Algunas aplicaciones en ingeniería de sistemas

Análisis de datos de usuarios: ¿Cuáles son los patrones de uso más comunes de una aplicación y cómo podemos mejorar la experiencia del usuario?
Predicción de fallos en sistemas: ¿Qué factores están más correlacionados con fallas en un sistema informático?
Análisis de rendimiento: ¿Cómo podemos mejorar el rendimiento de una base de datos en función de los patrones de acceso?
Seguridad informática: ¿Cuál es la probabilidad de un ataque de seguridad basado en los patrones de tráfico de red?
Optimización de algoritmos: ¿Cómo podemos mejorar la eficiencia de un algoritmo de búsqueda?

Algunas aplicaciones en ingeniería agroindustrial

Optimización de cultivos: ¿Cuál es la combinación óptima de fertilizantes y riego para maximizar el rendimiento de un cultivo?
Control de calidad en alimentos: ¿Cómo podemos reducir la variabilidad en la producción de alimentos para mejorar la calidad y seguridad?
Estudios de impacto ambiental: ¿Cómo podemos medir y reducir el impacto ambiental de prácticas agrícolas específicas?
Predicción de plagas: ¿Cómo podemos predecir la aparición de plagas en un cultivo en función de las condiciones climáticas y otros factores?

Elementos clave

Ejemplo de aplicación

Áreas complementarias

Introducción

¿Para qué sirve este curso?

Describir y analizar conjuntos de datos.
Análisis de fenómenos aleatorios en ingeniería.
Definir metodologías de muestreo.
Aplicar modelos de regresión.

Contenido

Evaluación

Módulo I (30%)

- Informe análisis exploratorio (15%)

- Parcial (10%)

- Actividades en clase (5%)

Módulo II (15%)

- Parcial (10%)

- Actividades en clase (5%)

Módulo III (15%)

- Parcial (10%)

- Actividades en clase (5%)

Módulo IV (40%)

- Artículo científico (10%)

- Parcial (25%)

- Actividades en clase (5%)

Recursos guía

Chang (2024). R Graphics Cookbook (2nd ed.)
Crawley (2015). Statistics: and introduction using R
Koralov y Sinai (2012). Theory of Probability and Random Processes (2nd ed.)
Tattar, Ramaiah y Manjunath (2016). A course in statistics with R
Wackerly et al. (2008). Estadística matemática con aplicaciones (7ma ed.)
Wickman et al. (2023). R for Data Science (2nd ed.)
Wickman et al. (2023). ggplot2 (2nd ed.)

Software del curso

Software estadístico

Matlab

Software estadístico

Presentación

Módulo I: Introducción

Variables
Medidas de tendencia central
Medidas de dispersión
Gráficas
Teoría de conjuntos
Técnicas de conteo
Probabilidad

Variables

Medidas de tendencia central

Media

\(\begin{equation} \bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n} \end{equation}\)

Ventaja: fácil de interpretar y calcular.

Desventaja: sensible a valores extremos.

Mediana

Es el valor que se encuentra en el centro de una secuencia ordenada de datos. Hay la misma cantidad de datos por encima y por debajo de ella.

\(\begin{equation} \text{Mediana} = \begin{cases} X_{\frac{n+1}{2}}, & \text{si } n \text{ es impar} \\ \frac{X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2} +1}}{2}, & \text{si } n \text{ es par} \end{cases} \end{equation}\)

Ventaja: fácil de interpretar y calcular, no es sensible a valores extremos.

Moda

Es el valor que aparece con mayor frecuencia, se utiliza en fines descriptivos ya que es muy variable para diferentes muestras. Puede haber más de una moda.

Un conjunto de datos puedes ser unimodal, bimodal o multimodal.

Ejemplo

Calcular la media, mediana y moda de la edad, altura y dinero en efectivo de los estudiantes del grupo 6 de Estadística General:

Id	Edad	Altura (cm)	Dinero en efectivo (COP)
1	18	170	2000
2	20	180	65000
3	21	178	20000
4	22	159	20000
5	20	158	2500
6	20	175	100
7	21	162	1000
8	23	172	20
9	20	184	30
10	19	155	45
11	22	164	50000
12	26	175	1500000
13	22	180	1000000
14	20	185	250
15	23	178	60000
16	21	173	200000
17	22	162	50
18	21	173	52
19	22	168	40
20	20	165	4
21	23	180	150

Ejemplo

Calcular la media, mediana y moda de la edad, altura y dinero en efectivo de los estudiantes del grupo 6 de Estadística General:

Id	Edad	Altura (cm)	Dinero en efectivo (COP)
1	18	170	2000
2	20	180	65000
3	21	178	20000
4	22	159	20000
5	20	158	2500
6	20	175	100000
7	21	162	1000
8	23	172	20000
9	20	184	30000
10	19	155	45000
11	22	164	50000
12	26	175	1500000
13	22	180	1000000
14	20	185	250000
15	23	178	60000
16	21	173	200000
17	22	162	50000
18	21	173	52000
19	22	168	40000
20	20	165	4000
21	23	180	150000
22	19	178	70000

[1] "La variable Edad (años) tiene una media de 21.14, su mediana es 21 y su moda es 20"

[1] "La variable Altura (cm) tiene una media de 171.55, su mediana es 173 y su moda es 180"

[1] "La variable Dinero (COP) tiene una media de 169613.64, su mediana es 50000 y su moda es 20000"

# Formula moda
moda <- function(x) {
  ux <- unique(x)
  ux[which.max(tabulate(match(x, ux)))]
}


link_encuesta <- "https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vRSn6T8sclb-P9UeGkh305w-8fs-rPR1_ritC2FPOLS2Ub13KUr_vF1dvRb0ZYr582s3aXD2gEVziGL/pub?gid=1539739636&single=true&output=csv"

data <- read.csv(link_encuesta)

# Edad
media_edad <- round(mean(data$Edad), digits=2)
mediana_edad <- median(data$Edad)
moda_edad <- moda(data$Edad)

# Altura
media_altura <- round(mean(data$Altura..cm.), digits=2)
mediana_altura <- median(data$Altura..cm.)
moda_altura <- moda(data$Altura..cm.)

# Dinero
media_dinero <- round(mean(data$Dinero.en.efectivo), digits=2)
mediana_dinero <- median(data$Dinero.en.efectivo)
moda_dinero <- moda(data$Dinero.en.efectivo)

print(paste0("La variable Edad (años) tiene una media de ", media_edad, ", su mediana es ", mediana_edad, " y su moda es ", moda_edad))

print(paste0("La variable Altura (cm) tiene una media de ", media_altura, ", su mediana es ", mediana_altura, " y su moda es ", moda_altura))

print(paste0("La variable Dinero (COP) tiene una media de ", media_dinero, ", su mediana es ", mediana_dinero, " y su moda es ", moda_dinero))

Medidas de dispersión

Rango

\(\begin{equation} Rango = Valor_{máximo} - Valor_{mínimo} \end{equation}\)

Propiedades:

Fácil de calcular.
Sensible a valores extremos.
No considera la distribución de los datos.
Posible dependencia del tamaño de la muestra.
Puede ser problemático para comparar diferentes conjuntos de datos o muestras.
Brinda una vista rápida y sencilla de la dispersión y sobre la presencia de datos atípicos significativos.

Varianza

\(\begin{equation} \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2 \end{equation}\)

\(\begin{equation} s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \end{equation}\)

Propiedades de la varianza

Siempre es positiva.
Sensible a valores extremos, aunque de manera más equilibrada que el rango.
Unidades cuadradas.
Aditividad: la varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas individuales.
Permite comparar diferentes conjuntos de datos.
Dependencia del escalado

\(\begin{equation} Y = aX \\ Var(Y) = a^2 Var(X) \end{equation}\)

¿Por qué en la expresión de la varianza se utiliza el cuadrado de las diferencias en vez de su valor absoluto?

Desviación estándar

\(\begin{equation} \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2} \end{equation}\)

\(\begin{equation} s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \end{equation}\)

Propiedades de la desviación estándar

Mismas unidades que los datos.
Interpretación directa.
Sensible a valores extremos.
Propiedad de escalabilidad: si \(Y = aX\), \(Std(Y) = |a|*Std(X)\).
Aditividad en variables independientes: \(Std(X+Y) = \sqrt{Var(X) + Var(Y)}\).
Sensible a outliers.
Asume distribución simétrica.

Coeficiente de variación

\(\text{Coeficiente de Variación} = \frac{\text{Desviación Estándar}}{\text{Media}} \times 100\%\)

Medidas de forma

Coeficiente de asimetría (skewness)

Indica hacia dónde están sesgados los datos.

\(\text{As} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(X_{i}-\bar{X})^2}{ns^3}\)

Valores:

\([-0.5 , 0.5] \text{ ...Simétrico}\)

\([-1, -0.5) \text{ ó } (0.5, 1] \text{ ...Sesgo moderado}\)

\(As < -1 \text{ ó } As>1 \text{ ...Muy sesgado}\)

Coeficiente de asimetría (skewness)

Curtosis

Indica cuán “chata” o alta es la distribución

\(\text{kur} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(X_i - \bar{X})^4}{ns^4}\)

Medidas de posición (cuantiles)

Los cuantiles sirven para estudiar o analizar lo que sucede con algún porcentaje de datos en particular, cuando se han ordenado previamente los datos. Los cuantiles se dividen en cuartiles, deciles y percentiles.

p-tiles

Cuartil: genera cuatro intervalos, cada uno con el 25% de los casos.
Quintil: genera cinco intervalos, cada uno con el 20% de los casos.
Decil: genera 10 intervalos, cada uno con el 10% de los casos.
Veintil: genera 20 intervalos, cada uno con el 5% de los casos.
Percentil: genera 100 intervalos, cada uno con el 1% de los casos.
N personalizado: es posible determinar el número de intervalos, según sea la necesidad. Por ejemplo, un valor de 3 produciría 3 categorías agrupadas (2 puntos de corte), cada una de las cuales contendría el 33.3% de los casos.

Percentiles

El percentil es un valor tal que el P por ciente de las observaciones son menores a tal valor.

Ejemplo: suponga que la nota del parcial es 4.1 y esa nota corresponde al percentil 90. Esto indica que el 90% de los estudiantes obtuvieron una nota entre 0.0 y 4.1 o que sólo el 10% sacó más de 4.1.

Para calcular los percentiles primero se deben ordenar los datos.

Percentiles

\[\text{Dec} = \frac{i*n}{100} \text{ ; i es el percentil a calcular} \]

\[P_{i} = \begin{cases} X_{(\lfloor Dec \rfloor + 1)} & \text{si } Dec \neq 0 \\ \frac{X_{Dec} + X_{Dec+1)}}{2} & \text{si } Dec = 0 \end{cases}\]

Datos: 11 , 13 , 16 , 20 , 21

\(P_{10} = ?\) \(P_{95} = ?\) \(P_{73} = ?\)
\(P_{20} = ?\) \(P_{50} = ?\)

Gráficas

Distribution

Histogram

Density

Boxplot

Ridgeline

Beeswarm

Ranking

Table

Barplot

Lollipop

Wordcloud

Parallel

Circular Barplot

Part of a whole

Pie chart

Doughnut

Grouped and Stacked barplot

Dendrogram

Treemap

Evolution

Correlation

Scatter

Connected scatter

Heatmap

Bubble

Evolution

Line plot

Area

Stacked area

Map

Flow

General knowledge

Recursos interesantes de dataviz

Módulo II: Variables aleatorias

Funciones de distribución y funciones de probabilidad
Distribuciones discretas
Distribuciones continuas
Esperanza matemática

Módulo III: Inferencia

Estimación de una y dos muestras
Pruebas de hipótesis de una y dos muestras

Módulo IV: Regresión y muestreo

Modelos de regresión
Muestreo